Question

阅读下列材料，解答下列问题：

材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．

公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a²+2ab+b²，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）²的形式，我们称a²+2ab+b²为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x²+2ax﹣3a²

＝x²+2ax+a²﹣a²﹣3a²

＝（x+a）²﹣（2a）²

＝（x+3a）（x﹣a）

材料2．因式分【解析】
（x+y）²+2（x+y）+1

【解析】
将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则

原式＝A²+2A+1＝（A+1）²

再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）²．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把c²﹣6c+8分解因式；

（2）结合材料1和材料2完成下面小题：

①分解因式：（a﹣b）²+2（a﹣b）+1；

②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．

Answer

（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）2；②（m+n-1）（m+n-3）.

【解析】

（1）根据材料1，可以对c2-6c+8分解因式；

（2）①根据材料2的整体思想可以对（a-b）2+2（a-b）+1分解因式；

②根据材料1和材料2可以对（m+n）（m+n-4）+3分解因式．

（1）c2-6c+8

=c2-6c+32-32+8

=（c-3）2-1

=（c-3+1）（c-3+1）

=(c-4)(c-2)；

（2）①（a-b）2+2（a-b）+1

设a-b=t，

则原式=t2+2t+1=（t+1）2，

则（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2；

②（m+n）（m+n-4）+3

设m+n=t，

则t（t-4）+3

=t2-4t+3

=t2-4t+22-22+3

=（t-2）2-1

=（t-2+1）（t-2-1）

=（t-1）（t-3），

则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．