Question

在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA.

   

(1)如图①，求点E的坐标

(2)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′.

①设AA′＝m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B²＋BE′²，并求出使A′B²＋BE′²取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).

Answer

（1）（0，1）（2）①（1，1）；②(，1).

【解析】

（1）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到，则易求OE=1，所以E（0，1）；

（2）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．

（1）如图①，∵点A（-2，0），点B（0，4），

∴OA=2，OB=4．

∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，

∴△OAE∽△OBA，

∴，即，

解得OE=1，

∴点E的坐标为（0，1）；

（2）①如图②，连接EE′．

由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2-m．

在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．

∴∠BEE′=90°，EE′=m．

又∵BE=OB-OE=3，

∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，

∴A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．

当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．

②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．

易证△AB′A′≌△EBE′，

∴B′A′=BE′，

∴A′B+BE′=A′B+B′A′．

当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．

易证△AB′A′∽△OBA′，

∴，

∴，AO=2，

∴AA′=×2=，

∴EE′=AA′=，

∴点E′的坐标是（，1）．