Question

如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S_△PAB＝9．

（1）求一次函数解析式；

（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；

（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）．

【解析】

（1）由直线AP解析式得到直线恒过A（-4，0），得到OA=4，设OB=a，PB=b，由P在反比例图象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根据AB与PB乘积的一半表示出三角形PAB面积，根据已知三角形PAB的面积求出a与b的值，确定出P坐标，将P代入直线AP解析式求出k的值即可；

（2）找出C关于x轴的对称点C′，连接PC′与x轴交于点Q，确定出直线PC′解析式，求出与x轴交点即可确定出Q坐标；

（3）由直线AP解析式求出OA与OC的长，若△BTM与△AOC全等，则有BT=OC，MT=OA，确定出M坐标，代入直线AP检验即可得到结果．

（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4），

得到A（﹣4，0），即OA＝4，

设OB＝a，PB＝b，即P（a，b），

代入反比例解析式得：ab＝6，

∵S△PAB＝AB•PB＝9，

∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18，

解得：a＝2，b＝3，即P（2，3），

将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k，

解得：k＝，

则直线AP解析式为y＝x+2；

（2）对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2，

找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短，

设直线C′P解析式为y＝mx+n，

将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：，

解得：m＝2.5，n＝﹣2，

∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2，

令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）；

（3）若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4，

∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4），

将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上，

将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5，

此时R坐标为（4，1.5）．