Question

已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；

(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)

(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，

①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)

　　图1

　　　图2

　　　图3

②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．

Answer

（1）EF＝；（2）①EF＝；②猜想：EF＝，证明详见解析.

【解析】

(1)由EF∥BC,即可证得△AEF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得＝,根据比例变形,即可求得EF的值;
(2)①连接BD,与EF交于点H,由(1)知, HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值;
②连接DE,并延长DE交BC于G,根据平行线分线段成比例定理,即可求得BG的长,又由EF＝与GC＝BC－BG,即可求得EF的值.

解 (1)∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝，

∵＝，

∴＝，

又BC＝b，

∴＝，

∴EF＝；

(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，

由(1)知，HF＝，EH＝，

∵EF＝EH＋HF，

∴EF＝；

②猜想：EF＝，

证明：连接DE，并延长DE交BC于G，

由已知，得BG＝，

EF＝，

∵GC＝BC－BG，

∴EF＝(BC－BG)＝＝.