Question

如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：

(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？

(2)图中有哪几组相等的线段？

(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？

Answer

（1）相等，理由详见解析；（2）PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD；（3）∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.

【解析】

（1）根据“AAS”证明△CDH≌△CDP即可； 

（2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；

（3）根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现∠PCD＝∠DCF＝∠ACB=60°才可．

解 (1)相等．理由如下：

∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，

∴∠DCP＝∠DCH，

∵DP⊥AC，DH⊥BF.

∴∠DPC＝∠DHC＝90°,

又∵CD=CD，

∴△CDH≌△CDP，

∴∠PDC＝∠HDC.

(2) ∵△CDH≌△CDP，

∴PC＝HC，DP＝DH，

∵∠DAP=∠DBH，∠APD=∠BHD=90°，

∴△ADP≌△BDH，

∴AP＝BH，AD＝BD.

综上可得：PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.

(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.

∵∠CPD＝90°，

∴∠ABC＝90°.

∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，

∴∠ACB＝60°.

∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.