Question

如图，等腰直角△中，,于，的平分线分别交于两点，为的中点，延长交于点，连接.下列结论：①.；②.；③.；④..其中正确的结论有    （  ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，继而可得∠BFD＝∠AEB＝90°－22.5°＝67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE＝AF可判断②；作FH⊥AB，根据角平分线的性质可得FD＝FH＜FA，可判断③；证△FBD≌△NAD可判断④．

∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝45°＝∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC＝22.5°，

∴∠BFD＝∠AEB＝90°－22.5°＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，

∴AF＝AE，故①正确；

∵M为EF的中点，

∴AM⊥EF，故②正确；

过点F作FH⊥AB于点H，

∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，

∴FD＝FH＜FA，故③错误；

∴∠AMF＝∠AME＝90°，

∴∠DAN＝90°－67.5°＝22.5°＝∠MBN，

在△FBD和△NAD中

∴△FBD≌△NAD，

∴DF＝DN，故④正确；

故选：C.