Question

在直角三角形△中，,的角平分线交于，于点,交于点,取,连接.

求证：⑴;  ⑵∥.

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）由题可知，进而可求得，故可证；（2）如图，作DH⊥AB于H，易证CE∥DH，则∠1＝∠2；由AD平分∠BAC，可知CD＝DH，根据等角的余角相等可知∠5＝∠7，所以CD＝CF，所以DH＝CF；由BG＝CD可知BD＝GC；由根据以上条件可证△BHD≌△GFC，得到∠BHD＝∠GFC＝∠BEC＝90°，所以FG∥AB．

证明：

⑴. ∵

∴

∴

⑵

证明：作DH⊥AB于H，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝∠DHB＝90°，

∴CE∥DH，

∴∠1＝∠2，

又∵∠ACB＝90°,AD平分∠BAC,

∴DH＝DC，∠3＝∠4，

∵∠5＝∠6＝90°−∠3，

∠7＝90°－∠4，

∴∠5＝∠7，

∴CD＝CF，

∴DH＝CF，

∵BG＝CD，

∴BG＋GD＝CD＋GD，

即BD＝GC，

在△BHD和△GFC中

∴△BHD≌△GFC，

∴∠BHD＝∠GFC＝90°，

∴∠GFC＝∠BEC＝90°，

∴FG∥AB.