Question

如图,点O在直线m上,在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是________秒．

Answer

2或6或16

【解析】

由△PCO≌△OQD，可证得PO=OQ，再分情况讨论：①P在AO上，Q在BO上；②P在BO上，Q在AO上；③当P、Q都在OB上时；④当P到B点停止，Q在OA上时；P和Q都在BC上的情况不存在，分别根据PO=OQ，建立关于t的方程，求解即可。

【解析】
分情况讨论：

P在AO上，Q在BO上，如图1

图1

∵PC⊥m，QD⊥m，

∴∠PCO=∠QDO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠OPC+∠POC=90°,∠POC+∠QOD=90°，

∴∠OPC=∠QOD，

则△PCO≌△OQD，

∴PO=OQ，

∴10-2t=8−t

解之：t=2；

②如图2，P在BO上，Q在AO上，

图2

∵由①知：OP=QO，

∴2t-10=t-8，

解之：t=2；

t−8<0，即此种情况不符合题意；

③当P、Q都在OB上时,如图3,

图3

OP=OQ

则8−t=2t−10，

解之：t=6；

④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4

图4

OQ=OB，t−8=8时，

解之：t=16

P和Q都在BC上的情况不存在，

故答案为：2或6或16