Question

把两个大小不同的含 45°角的直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，点 B，C，E 在同一条直线上，连结 CD．

(1)求证：BE=CD；

(2)求证：DC⊥BE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质，可证得∠BAE=∠CAD，AB=AC，AE=AD，再利用全等三角形的判定定理和性质，可证得结论

（2）利用全等三角形的性质，可证得∠ACD=∠B=45°，再求出∠DCB的度数，就可证得结论

（1）证明：∵△ABC和△DAE都是等腰直角三角形

∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

，

∴△BAE≌△CAD(SAS),

∴BE=CD

（2）证明：∵△BAE≌△CAD

∴∠ACD=∠B=45°

∴∠DCB=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°

∴DC⊥BE