Question

在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路.如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在射线ON上截取OB=OA,连结BC，根据三角形全等的判定方法(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：

(1)如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E，F分别为AB，AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．

(2)如图3，在非等边△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC=AE+CD．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）在AB上截取AK=AF,连结KD，利用角平分线的定义，可证得∠BAD=∠CAD.，再证明△AKD≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得DK=DF,∠AKD=∠AFD，然后证明DE=DK，就可证得结论

（2）在AC上截取AG=AE,连接FG，易证△AEF≌△AGF，可证得∠AFE=∠AFG，再根据已知去证明∠CFD=∠CFG。然后利用ASA证明△CFG≌△CFD，利用全等三角形的性质证得CG=CD，从而就可证得结论

（1）证明：如图1,在AB上截取AK=AF,连结KD

∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠BAD=∠CAD.

在△AKD和△AFD中,

∴△AKD≌△AFD(SAS)

∴DK=DF,∠AKD=∠AFD

∵∠AED+∠AFD=180°

∠EKD+∠AKD=180°

∵,∠AED=∠EKD

∴DE=DK

∴DE=DF

（2）证明：如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG

∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠BCA的平分线

∴∠1=∠2,∠3=∠4

在△AEF和△AGF中,

∴△AEF≌△AGF(SAS),

∴∠AFE=∠AFG

∵∠B=60°

∵.∠BAC+∠ACB=120°

∵.∠2+∠3= (∠BAC+∠ACB)=60°,

∵∠AFE=∠2+∠3,

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,

∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°

∴∠CFD=∠CFG,

在△CFG和△CFD中

∴△CFG≌△CFD(ASA)

∴CG=CD,

∴AC=AG+CG=AE+CD