Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，

(1)证明：△ABD≌△BCE；

(2)证明：△ABE∽△FAE；

(3)若AF＝7，DF＝1，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BD＝2．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可证∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以证明△AEF∽△BEA；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以证明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD2=AD•DF=（AF+DF）•DF．

【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，

在△ABD与△BCE中

∵，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，

又∵∠ABC＝∠BAC，

∴∠ABE＝∠EAF，

又∵∠AEF＝∠BEA，

∴△AEF∽△BEA；

（3）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，

∴△ABD∽△BDF，

∴，

∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，

∴BD＝2．