Question

（问题背景）

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D

（简单应用）

(2)如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°，求∠P的度数(可直接使用问题(1)中的结论)

（问题探究）

(3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为______

（拓展延伸）

(4)在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为__________________(用x、y表示∠P)

(5)在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、D的关系,直接写出结论_________________________.

Answer

（1）详见解析；（2）∠P=23°；（3）∠P=26°；（4）∠P= ；（5）∠P=.

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可证明；

（2）直接利用结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；

（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．

（4）同法列出方程组即可解决问题．

（5）同法列出方程组即可解决问题．

（1）在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°．在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°．

∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）由（1）得：∠2+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠1+∠P，∴∠2+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠1+∠P．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=20°+26°=46°，∴∠P=23°．

（3）如图3：

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．

∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．

∵∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P（∠B+∠D）（36°+16°）=26°．

（4）设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．

∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∴x+m=∠P+n，∠P+2m=y+2n，∴x－∠P = n－m，∠P－y=2n－2m=2（n－m），∴2x+y=3∠P，∴∠P=．

故答案为：∠P=．

‚（5）设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．

∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P．

故答案为：∠P．