Question

如图所示：已知∠ABC＝120°，作等边△ACD，将△ACD旋转60°，得到△CDE，AB＝3，BC＝2，求BD和∠ABD．

Answer

BD＝5．∠BAD＝60°

【解析】

先根据等边三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝60°，由于∠ABC＝120°，根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAD+∠BCA＝120°，再根据旋转的性质得∠BAD＝∠ECD，DB＝DE，∠BDE＝60°，AB＝CE，于是有∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°，得到B、C、E在同一条直线上，接着证明△BDE为等边三角形得到∠DBE＝60°，所以∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°，BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝5．

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ADC＝∠ACD＝60°，

∵∠ABC＝120°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠BAD+∠BCA＝120°，

∵△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，

∴∠BAD＝∠ECD，DB＝DE，∠BDE＝60°，AB＝CE，

∴∠BCA+∠ECD＝120°，

∴∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°，

∴B、C、E在同一条直线上．

∵DB＝DE，∠BDE＝60°，

∴△BDE为等边三角形，

∴∠DBE＝60°，

∴∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°，

∴BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝3+2＝5．