Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．

（1）求△ADE的周长的最小值；

（2）若CD=4，求AE的长度．

Answer

（1）6+；（2）3﹣或3+

【解析】

（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；

（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论

【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3

∴AB=AC=6，

∵∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE与△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，

∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，

∴当DE最小时，△ADE的周长最小，

过点C作CF⊥AB于点F，

当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，

∴△ADE的周长的最小值是6+3；

（2）当点D在CF的右侧，

∵CF=AB=3，CD=4，

∴DF=，

∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；

当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，

综上所述：AE的长度为3﹣或3+．