Question

如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，点M是线段CP上的一动点(不与两端点C，P重合)，连接DM，EM.

(1)求证:DM=EM;

(2)当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.

Answer

(1)证明见解析；(2) 当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形，理由见解析.

【解析】

利用角平分线上的点到角的两边距离相等得到PD=PE，再根据 Rt△PCD≌Rt△PCE，得到CD=CE，即可证得△DCM≌△ECM，从而得到DM=EM；

首先当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形，由(1)得DM=EM，PD=PE，再根据M为PC的中点，PD⊥CA和直角三角形PDC，证得DM=PD，即可得到PD=PE=EM=DM，然后证得P四边形PDME为菱形.

(1)∵PC平分∠ACB，

PD⊥CA，PE⊥CB，

∴PD=PE.

∴Rt△PCD≌Rt△PCE，

∴CD=CE.

在△DMC和△EMC中，

，

∴△DCM≌△ECM，

∴DM=EM.

(2)当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.

理由如下:

∵M为PC的中点，PD⊥CA，

∴DM=PC，

在直角三角形PDC中.

∵∠ACB=60°，

∴∠PCD=30°，

∴PD=PC，

∴DM=PD.

由(1)得DM=EM，PD=PE，

∴PD=PE=EM=DM，

∴四边形PDME为菱形.