Question

如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证:AF=DC;

(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论;

(3)在(2)的条件下,要使四边形ADCF为正方形,在△ABC中应添加什么条件,请直接把补充条件写在横线上               (不需说明理由). 

Answer

（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）AB=AC

【解析】

（1）连接DF，证三角形AFE和三角形DBE全等，推出AF=BD，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；
（3）根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，推出∠ADC=90°，根据正方形的判定推出即可．

（1）证明：连接DF，

∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四边形AFDB是平行四边形，
∴BD=AF，
∵AD为中线，
∴DC=BD，
∴AF=DC；
（2）四边形ADCF的形状是菱形，
证明：∵AF=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵AD为中线，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）【解析】
AC=AB，
理由是：∵∠CAB=90°，AC=AB，AD为中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形，
故答案为：AC=AB．