Question

某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

（1）求证：AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

Answer

【解析】
（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），

∴AB=AF，∠BAM=∠FAN。

∵在△ABM和△AFN中，，

∴△ABM≌△AFN（ASA）。

∴AM=AN。

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形。理由如下：

连接AP，

∵∠α=30°，∴∠FAN=30°。∴∠FAB=120°。

∵∠B=60°，∴AF∥BP。∴∠F=∠FPC=60°。

∴∠FPC=∠B=60°。∴AB∥FP。

∴四边形ABPF是平行四边形。

∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形。

【解析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可。

（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案。