Question

如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）,点D在x轴正半轴上，线段OD=OC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，,连接QE.若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由。

Answer

（1） (2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，(，)，( ，) (3)存在，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3. 将C（0，1）代入求得a的值即可；

（2）①C为直角顶点时，作CM⊥CD，CM交抛物线与点M，先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CM的解析式，然后求得CM与抛物线的交点坐标即可；②D为直角顶点坐标时，作DM⊥CD，先求得直线CM的解析式，然后将直线CM与抛物线的交点坐标求出即可；

（3）存在. 作点C关于直线QE的对称点C/，作点C关于x轴的对称点C//，连接C/C//，交QE于点P，则△PCE即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE的周长等于线段C/C//的长度，然后过点C/作C/N⊥y轴，然后依据勾股定理求得C/C//的长即可.

【解析】
（1）设抛物线的解析式为

将C（0，1）代入得：

解得:

∴

(2)①C为直角顶点时

如图①:CM⊥CD

设直线CD为,

∵OD=OC

∴OD=1

∴D(1,0)

把D(1,0)代入得:

∴

∵CM⊥CD,

∴易得直线CM为:

则:

解之得:M(2 , 3 ),恰好与Q点重合.分

②D为直角顶点时:

如图②,易得：直线ＤＭ为

则：

则Ｍ为(，)或 ( ，)

综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，(，)，( ，)．

(3) 在．

如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．

由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；

而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，

由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，

即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）

如答图④所示，连接C′E，

∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，

∴△QC′E为等腰直角三角形，

∴△CEC′为等腰直角三角形，

∴点C′的坐标为（4，5）；

∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″==2．

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2．

“点睛”本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1是解答问题（2）的关键，利用轴对称的性质将三角形的周长转化为线段C/C//的长是解答问题（3）的关键.