Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B，c的坐标分别为A(0，m)，B(-5，0)，C(n，0)，且(n-3)²+ =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线B0匀速运动，设点P运动的时间为ts．

（1）求A，C两点的坐标；   

（2）连接PA，若∆PAB为等腰三角形，求点P的坐标；   

（3）当点P在线段B0上运动时间t=     s时，使△AOP≌△AOC?(请直接写出t的值，不需说明理由)

Answer

（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（3,0）（2）（-0.9，0），（， 0），（5，0）（3）t=1

【解析】

（1）由偶次幂的非负性和算术平方根的非负性可知n-3=0，3m-12=0，分别求出m和n的值，即可写出A，C两点的坐标；

（2）由题意可知，ΔPAB为等腰三角形时有三种情况，①AB为底边，点P位于AB的垂直平分线上，AP，PO与AO构成直角三角形，利用勾股定理可求出点P的坐标；②当PB与AB为等腰三角形的腰时，PB与AB相等，由勾股定理求得AB的长就可以知道PB的长，再求出点P的坐标即可；③当PA与AB为等腰三角形的腰时，PA与AB相等，此时点P与点B关于y轴对称，即可直接写出点P的坐标；

（3）由ΔAOP≌ΔAOC可知OP=OC，由（1）得点C的坐标为（3，0），所以OC=OP=3，即点P的坐标为（-3，0），即BP=2，点P的速度为每秒2单位长度，所以t=1.

【解析】
（1）∵（n-3）2+=0，∴n-3=0，3m-12=0，解得n=3，m=4，

∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（3,0）；

（2）ΔPAB为等腰三角形时有三种情况：

①当PA=PB时，设点P的坐标为（a，0），由勾股定理得BP=AP=， 即(-a)2+16=(5+a)2 ， 解得a=-0.9，所以点P的坐标为（-0.9，0）；

②当AB=PB时，由勾股定理得AB=， ∴PB=AB=， 所以点P的坐标为（， 0）；

③当AB=PA时，点P与点B关于y轴对称，所以点P的坐标为（5，0）；

（3）∵ΔAOP≌ΔAOC，

∴OP=OC，

∵点C的坐标为（3，0），

∴OP=OC=3，

∵B(-5，0)，

∴OB=5，

∵5-2t=3,

∴t=1.