Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝∠CAB，AC＝BC．点D在CB的延长线上，BD＝CB．DF⊥BC，点E在BC的延长线上，EC＝FD．

（1）如图1，若点E、A、F三点共线，求证：∠FAB＝∠FBA；

（2）如图2，若线段EF与BA的延长线交于点M，求证：EM＝FM．

Answer

（1）证明见解析 （2）证明见解析

【解析】

（1）连接BF，求出△ACE≌△BDF，推出∠EAC＝∠FBD，再由∠FAB＝180°﹣∠EAC﹣∠CAB，∠FBA＝180°﹣∠FBD﹣∠CBA，由已知∠CAB＝∠ABC即可得结论；

（2）如图2，连接FB，EA，延长BM，分别过点E，F作BM的垂线，垂足分别为P，Q，由（1）得△ACE≌△BDF，AE＝BF，∠EAP＝∠FBQ，可推出△EAP≌△FBQ，则PE＝FQ，再由△EMP≌△FMQC即可得结论./

证明：（1）连接BF，

∵AC＝BC，BC＝BD，

∴AC＝BD，

∵DF⊥BC，

∴∠ACB＝∠D＝∠ACE＝90°，

在△ACE和△BDF中，

∵，

∴△ACE≌△BDF（SAS），

∴∠EAC＝∠FBD，

∵∠FAB＝180°﹣∠EAC﹣∠CAB，∠FBA＝180°﹣∠FBD﹣∠CBA，

∵∠CAB＝∠ABC，

∴∠FAB＝∠FBA；

（2）如图2，连接FB，EA，延长BM，分别过点E，F作BM的垂线，垂足分别为P，Q，

同理得：△EAC≌△FBD，

∴AE＝BF，

同理可知：∠EAP＝∠FBQ，

在△EAP和△FBQ中，

，

∴△EAP≌△FBQ（AAS），

∴PE＝FQ，

在△EMP和△FMQ中，

，

∴△EMP≌△FMQ（AAS），

∴EM＝FM．