Question

二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③当m≠1时，a＋b>am²＋bm；④a－b＋c>0；⑤若a＋bx₁＝a＋bx₂且x₁≠x₂，则x₁＋x₂＝2，其中正确的有(  )

A. ①②③    B. ②④    C. ②⑤    D. ②③⑤

Answer

D

【解析】

根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．

∵抛物线开口向下，∴a＜0．

∵抛物线对称轴为直线x1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；

∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2．

∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．

故选D．