Question

某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价x（元）	…	30	40	50	…
每天的销售量y（个）		100	80	60	…

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

Answer

（1）y=-2x+160；（2）w=-2x2+200x-3200；（3）当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．

【解析】

每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，用待定系数法求解；

根据利润的表达式：利润=售价-进价求解；

根据（2）的表达式是二次函数，利用二次函数的最值求解.

（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得，

即y与x之间的函数表达式是y=-2x+160；

（2）由题意可得，w=（x-20）（-2x+160）=-2x2+200x-3200，

即w与x之间的函数表达式是w=-2x2+200x-3200；

（3）∵w=-2x2+200x-3200=-2（x-50）2+1800，20≤x≤60，

∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大；

当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；

当x=50时，w取得最大值，此时w=1800元

即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．