Question

如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线y=ax²+2ax+3（a≠0）经过A，B两点．P是线段AO上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．

（1）求a及AB的长．

（2）连结PB，若tan∠ABP=，求点P的坐标．

（3）连结BD，以BD为边作正方形BDEF，是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）连结OC，若S_△BDC：S_△OBC=1：2，将线段BD绕点D按顺时针方向旋转，得到DB′．则在旋转的过程中，当点A，B到直线DB′的距离和最大时，请直接写出点B′的坐标．

Answer

（1）a=﹣，AB的长为5；（2）点P的坐标（－1.5，0）；（3）E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在，点P的坐标为（，0）或（﹣4，0）；（4）当点A，B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为（﹣）．

【解析】

（1）把点A（﹣4，0）代入抛物线y=ax2+2ax+3方程即可求解；

（2）如图，连接BP，作AH⊥PB于H，设点P的坐标为（x，0）．则OP=﹣x，AP=4+x，BP=．可证明△APH∽△BPO，由相似三角形的对应边成比例，列方程并求解即可得到结论；

（3）如图所示，正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上，证明Rt△BHD≌Rt△END（AAS），用EN=BH即可求解；

（4）利用△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形，求出CDOB，求出D点坐标（m，），把点D的坐标代入二次函数方程yx2x+3可以求出D点坐标为：D（﹣2，3），而B（0，3）则BD∥x轴；在Rt△B'MD中，B'D=BD=2，tan∠B'DP，则：B'M，DM，即可求解．

（1）把点A（﹣4，0）代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得：a，二次函数的表达式为：yx2x+3，则B坐标为（0，3）．

∵OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，则二次函数表达式为：yx2x+3，对称轴为x=﹣1．

答：a，AB的长为5．

（2）如图，连接BP，作AH⊥PB于H．在Rt△ABH中，AB=5，tan∠ABP，可得：AH，BH=2，设点P的坐标为（x，0），则OP=﹣x，AP=4+x，BP==．

∵∠APH=∠BPO，∠AHP=∠POB=90°，∴△APH∽△BPO，∴，∴，整理得：4x2+72x+99=0，∴（2x+3）（2x+33）=0，解得：x=－1.5，或x=－16.5（舍去），∴点P的坐标为（－1.5，0）．

（3）如图所示，正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上，从E点作EN⊥PD，作DH⊥y轴，则Rt△BHD≌Rt△END（AAS），∴EN=BH，设P点坐标为（a，0），则D、E点的坐标分别为（a，a2a+3）、（﹣1，y），BH=3﹣（a2a+3）=EN=﹣1﹣a，解得：x，x=﹣4．

答：E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在，点P的坐标为（，0）或（﹣4，0）．

（4）当BD旋转到如图DB'的位置时，点A，B到直线DB'的距离和最大，此时AB⊥B'D，过点B'向PD和x轴作垂线，即B'M⊥DP，B'N⊥x轴，由A、B两点坐标可得AB的直线方程为：yx+3，则tan∠BAO，设P点坐标为（m，0），则C（m，m+3）．

∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形，而1：2若S△BDC：S△OBC=1：2，∴CDOB，则D点y坐标=C点y坐标，即：D（m，），把点D的坐标（m，）代入二次函数方程yx2x+3，解得：m=﹣2，把m值代入，即D点坐标为：D（﹣2，3），P（﹣2，0）．

∵B（0，3）则BD∥x轴，∴BD⊥DC．

∵BD⊥DC，AB⊥B'D，DP⊥AP，∴∠B'DP=∠BAO，∴tan∠B'DP=tan∠BAO．在Rt△B'MD中，B'D=BD=2，tan∠B'DP，则：B'M，DM，则：B'的横坐标为=xP﹣B'M=﹣2，B'的纵坐标为=yD﹣DM=3．

答：当点A，B到直线DB'的距离和最大时点B'的坐标为（）．