Question

如图，抛物线y=x²+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．

（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．

Answer

（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）PN的最大值是；（3）PM的最大值是.

【解析】试题（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；

（2）设P（m， m2-m-2），得到N（m，-m-），根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）设P（m， m2-m-2），得到M（-m2+2m+2， m2-m-2），根据二次函数的性质即可得到结论.

试题解析：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c，

得： ，∴，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；

（2）设P（m， m2﹣m﹣2），

∵PN∥y轴，N在直线AD上，

∴N（m，﹣ m﹣），

∴PN=﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+，

∴当m=时，PN的最大值是；

（3）设P（m， m2﹣m﹣2），

∵PM∥x轴，M在直线AD上，M与P纵坐标相同，

把y=m2﹣m﹣2，代入y=﹣x﹣中，得x=﹣m2+2m+2，

∴M（﹣m2+2m+2， m2﹣m﹣2），

∴PM=﹣m2+2m+2 -m= ﹣m2+m+2

∴当m=时，PM的最大值是.