Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，长为4cm的线段DE在边AC上，且点D与点A重合，点F是DE的中点，线段DE从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，直到点E与点C重合，速度1cm/s。过点F作PF⊥AC，交AB于点P，过点P作PQ//AC，交BC于点Q,连接PD,PE,QE,设线段DE的运动时间为t（s）.（0≤t≤6）

（1）请分别用含有t的代数式表示线段PF、BQ

（2）当t为何值时，四边形PFCQ为正方形？

（3）设四边形PDEQ的面积为y（cm²）请求出y与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，四边形PDEQ的面积最大，最大是多少？

（4）是否存在某一时刻t，使得EP平分∠AEQ？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）PF=t+2，BQ=8-t;（2）t=3s;（3）t=5,y=24.5;（4）存在.时，EP平分∠AEQ

【解析】

（1）根据∠C=90°，AC=BC=10cm，可得∠A= ，再根据PF⊥AC可得AF=PF，根据题意可得AF=t+2，CF=8-t，即可得出答案。

（2）当PF=PQ时，四边形PFCQ为正方形，列出方程即可。

（3）用矩形DFCQ的面积加上三角形PDF的面积，再减去三角形QEC的面积得到四边形PDEQ的面积，列出y与t的函数关系式即可。

（4）先假设得EP平分∠AEQ，则∠AEP=∠QEP, 再根据 PQ//AC，得出∠AEP=∠QPE, ∠QEP=∠QPE,得出QE=QP,列出方程，方程有解就存在，没解就不存在。

（1）∵∠C=90°，AC=BC=10cm，∴∠A=∠B=, ∵PF⊥AC，∴∠AFP=90°, ∴AF=PF,同理可证，BQ=PQ，∵点F是DE的中点，DE=4，∴DF=EF=2, ∴AF=t+2，∴PF=t+2，则CF=AC-AF=8-t，∵PF⊥AC，∠C=90°，PQ//AC，则四边形PFCQ是矩形，∴PQ=CF, BQ=CF = 8-t；

（2）∵四边形PFCQ为正方形，∴PF= CF，∴t+2=8-t，∴t=3，∴t=3时四边形PFCQ为正方形。

（3）y==(t+2)(8-t)+2(t+2)-(10-t-4)（t+2）

∴y=-+5t+12，∵a=-0，∴当t=5时，=24.5

∴当t=5时，四边形PDEQ的面积最大，最大面积为24.5

（4）∵EP平分∠AEQ，∴∠AEP=∠QEP, ∵PQ//AC，∴∠AEP=∠QPE, ∴∠QEP=∠QPE, ∴QE=QP=8-t, ∴在RtECQ中， ∴

解得：t=，t=（舍去）

∴存在时，EP平分∠AEQ