Question

老师给同学们布置了一个“在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务：

下面是小聪同学设计的尺规作图过程：

已知：如图，中，，

求作：一点，使得.

作法：

①作的平分线交于点；

②作边的垂直平分线，与相交于点；

③连接，

所以，点就是所求作的点.

根据小聪同学设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：∵，平分交于点，

∴是的垂直平分线；（                       ）（填推理依据）

∴.

∵垂直平分，交于点，

∴；（                    ）（填推理依据）

∴.

Answer

（1）见解析；（2）等腰三角形的三线合一 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

【解析】

（1）利用基本作图作角平分线AD和AB的垂直平分线，它们相交于P点；

（2）根据等腰三角形的性质得到PB=PC．再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到PA=PC，从而得到PA=PB=PC．

（1）如图，AD、点P为所求；

（2）证明：∵，平分交于点，

∴是的垂直平分线；（ 等腰三角形的三线合一 ）（填推理依据）

∴.

∵垂直平分，交于点，

∴；（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）（填推理依据）

∴.