Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，AD=AE．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为      ，数量关系为          ．（不用证明）

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形．

Answer

（1）①CE⊥BD； CE=BD，②结论仍成立；（2）当∠BCA=45°时，CE⊥BD．

【解析】

（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；

（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．

（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．

理由：如图乙，

∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE．

又 BA=CA，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE （SAS）

∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．

故答案为：CE⊥BD； CE=BD．

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．

如图丙，

∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC，

又AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC，

∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

即 CE⊥BD；

（2）如图丁所示，当∠BCA=45°时，CE⊥BD．

理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，

∴AC=AG，∠AGC=45°，

即△ACG是等腰直角三角形，

∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，

∴∠GAD=∠CAE，

又∵DA=EA，

∴△GAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠AGD=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

即CE⊥BD．