Question

如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer

(1)证明过程见解析；(2)直角三角形，理由见解析；(3)125°或110°或140°.

【解析】

(1)由旋转的性质得出CO=CD，∠OCD=60°，即可得出结论；

(2)由旋转的性质得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由等边三角形的性质得出∠ODC=60°，求出∠ADO=90°即可；

(3)分三种情况：①OA=AD时；②OA=OD时；③OD=AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．

(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，

∴CO＝CD，∠OCD＝60°，

∴△COD是等边三角形．

(2)当α＝150°时，△AOD是直角三角形．

理由：∵△BOC≌△ADC，

∴∠ADC＝∠BOC＝150°.

∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC＝60°，

∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，

即△AOD是直角三角形．

(3)①要使OA＝AD，需∠AOD＝∠ADO，

∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，

∴190°－α＝α－60°，

∴α＝125°；

②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.

∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，

∴α－60°＝50°，

∴α＝110°；

③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.

∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，

∠OAD＝＝120°－，

∴190°－α＝120°－，

解得α＝140°.

综上所述，当α的度数为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

故答案为：(1)证明过程见解析；(2)直角三角形，理由见解析；(3)125°或110°或140°.