Question

如图，一次函数的图像分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒.

（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12,求此时P的坐标；

（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？

Answer

(1)(4,3),(-4,9); (2)4或5或16或.

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求得A、B的坐标，用m表示出点P的坐标，利用面积可求得m的值，进一步求得P点坐标；
（2）可用t表示出BP、AP的长，分AP=AO、AP=OP和OP=AO三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

(1)当x=0时，y=6，

当y=0时，x=8，

则A(0,6),B(8,0)，

AB=10，

设点P的坐标为(m,m+6)，

∵△OPA的面积为12，

∴×6×|m|=12，

解得：m=±4，

∴点P的坐标为(−4,9)或(4,3).

(2)由题意可知BP=t，AP=10−t，

当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况。

当AP=AO,P在线段AB上时，则有10−t=6，可解得t=4；

当AP=AO,P在线段BA延长线上时，则有t=10+6=16；

②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，

则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；

③当AO=OP时，如图2，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，

则AN=AP= (10−t)，

∵PH∥AO，

∴△AOB∽△PHB，

∴ =,即 =，

∴PH=t，

又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90，

∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，

∴△ANO∽△PHB，

∴ =,即=,解得t= .

综上可知当t的值为4、5和时，△AOP为等腰三角形。

故答案为： (1)(4,3),(-4,9); (2)4或5或16或.