Question

如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧AmC上任意一点（不包括A，C），记四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（　　）

A. y=x+4    B. y=x+4    C. y=x²+4    D. y=x²+4

Answer

B

【解析】作辅助线，构建全等三角形和等边三角形，证明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根据30°角的笥质表示DF和DG的长，计算四边形ABCD的周长即可．

连接OB交AC于E，连接OC、OB，

过B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延长线于G，交CD于F，

∵AB=BC，

∴，

∴∠BDA=∠BDC，

∴BG=BF，

在Rt△AGB和Rt△CFB中，

∵，

∴Rt△AGB≌Rt△CFB，

∴AG=FC，

∵，

∴OB⊥AC，EC=AC=×2=，

在△AOB和△COB中，

∵，

∴△AOB≌△COB（SSS），

∴∠ABO=∠OBC=∠ABC=×120°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC=60°，

∴∠BDC=∠ADB=30°，

Rt△BDF中，BD=x，

∴DF=x，

同理得：DG=x，

∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=x+x=x，

Rt△BEC中，∠BCA=30°，

∴BE=1，BC=2，

∴AB=BC=2，

∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+x=x+4，

故选B．