Question

如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图①中∠MON的度数；

(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．

         

Answer

90° 72°

【解析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；

（2）同（1）即可解答；

（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．

(1)方法一：如图①，连接OB，OC.

图①

∵正三角形ABC内接于⊙O，

∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.

又∵BM＝CN，OB＝OC，

∴△OBM≌△OCN，

∴∠BOM＝∠CON，

∴∠MON＝∠BOC＝120°.

方法二：如图②，连接OA，OB.

图②

∵正三角形ABC内接于⊙O，

∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.

∵BM＝CN，∴AM＝BN.

又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，

∴∠AOM＝∠BON，

∴∠MON＝∠AOB＝120°.

(2)90° 72° (3)∠MON＝.