Question

如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长，交于点．有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（      ）

A. ①②③    B. ①②④    C. ②③④    D. ①②③④

Answer

A

【解析】

由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；故正确的结论有3个．

【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，

由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，

即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，

∴CF＝MF，

∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中，

∴△DFE≌△CFN，

∴EF＝FN，

∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF，

∴∠BFM＝∠BFC，

∴BF平分∠MFC；故②正确；

∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，

∴∠BFE＝∠BFN，

∵∠BFE＋∠BFN＝180°，

∴∠BFE＝90°，

即BF⊥EN，

∴BF垂直平分EN，故①正确；

∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，

∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，

∴∠EFM＝∠EBF，

∵∠DFE＝∠EFM，

∴∠DFE＝∠FBE，

∴△DEF∽△FEB；故③正确；

∵△DFE≌△CFN，∴BE＝BN，

∴△EBN是等腰三角形，

∴∠N不一定等于60°，

故④错误．

故答案选：A．