Question

如图，在中，，，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动．作，与边相交于点．

找出图中的一对相似三角形，并说明理由；

当为等腰三角形时，求的长；

求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长．

Answer

（1）；（2）的长为或或；（3）cm.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE＝∠BEF，即可得出结论；

(2)分三种情况：①若EF＝BF，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE＝DE＝即可；

②若EF＝BE，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可；

③若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE＝AD＝3即可．

(3)由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出是的二次函数，即可得出结果．

【解析】
，理由如下：

∵在中，，，

∴，

∵，，

∴，

∴；

分三种情况

①如图，若，则，

又∵，

∴，

∴，

∴；

②如图，若，则

又∵，

∴，

∴，

∴；

③如图，若，则

又∵，

∴，

∴．

综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．

设，长为．

∵在中，，．

∴，，

由得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴当时，有最大值，

∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是，

∴点运动路程为．