Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．

（1）求证：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG＝∠FDC，∠AGF＝∠FCD；

（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；

（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，

∴∠CDF+∠ADF＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝90°，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝∠CDF，

∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，

∴∠FCD+∠DGF＝180°，

∵∠FGA+∠DGF＝180°，

∴∠FGA＝∠FCD，

∴△AFG∽△DFC．

（2）【解析】
如图，连接CG．

∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，

∴△EDA∽△ADF，

∴ ，即，

∵△AFG∽△DFC，

∴ ，

∴，

在正方形ABCD中，DA＝DC，

∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，

∴CG＝＝5，

∵∠CDG＝90°，

∴CG是⊙O的直径，

∴⊙O的半径为．