Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，DF与AB的延长线交于点G.

(1)求证：△CDF∽△BGF；

(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝6cm，EF＝4cm，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）CD=2cm

【解析】

试题（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．

（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．

试题解析：（1）∵梯形ABCD，AB∥CD，

∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，

∴△CDF∽△BGF．

（2）由（1）△CDF∽△BGF，

又∵F是BC的中点，BF=FC，

∴△CDF≌△BGF，

∴DF=GF，CD=BG，

∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，

∴E为AD中点，

∴EF是△DAG的中位线，

∴2EF=AG=AB+BG．

∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，

∴CD=BG=2cm．