Question

(2014山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．

(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；

(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

Answer

见解析

【解析】

【解析】
(1)△BMN是等腰直角三角形．

证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∴．

∴△BMN是等腰直角三角形．

(2)△MFN∽△BDC．

证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，

∴FM∥AC，．

∵AC＝BD，

∴，即．

由(1)知△BMN是等腰直角三角形，

∴，即，

∴．

∵AM⊥BC，

∴∠NMF＋∠FMB＝90°．

∵FM∥AC．

∵∠ACB＝∠FMB．

∵∠CEB＝90°，

∴∠ACB＋∠CBD＝90°．

∴∠CBD＋∠FMB＝90°，

∴∠NMF＝∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．