Question

已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．

（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．

请将下列推理过程补充完整：

证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），

∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵PQ∥MN（　   　），

∴∠CDQ＝∠β（　   　）．

∴∠β＝　   　（等量代换）．

∵∠C＝45°（已知），

∴∠β＝∠α+45°（等量代换）

（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；

（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．

（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），

∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵PQ∥MN（已知），

∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．

∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．

∵∠C＝45°（已知），

∴∠β＝∠α+45°（等量代换）；

故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，∠α+∠C，

（2）证明：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义），

∴∠CFN＝∠β+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∵PQ∥MN（已知），

∴∠CFN＝∠α（两直线平行，同位角相等）

∴∠α＝∠β+∠C（等量代换）．

∵∠C＝45°（已知），

∴∠α＝∠β+45°（等量代换）．