Question

如图所示，已知，，，试回答下列问题：

试说明：；

如图，若点E、F在BC上，且，OE平分试求的度数；

在的条件下，若左右平行移动AC，如图，那么：的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

在的条件下，当时，试求的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠EOC的度数为40°；

（3）比值不变，∠OCB：∠OFB=1：2

（4）∠OCA的度数为60°.

【解析】

（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=60°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；

（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF= ∠AOB=30°；

（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，则∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，根据平行线的性质得∠OEB=∠AOE，则∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=60°-x，利用∠OEB=∠OCA得到30°+x=60°-x，解得x=15°，所以∠OCA=60°-x=45°．

【解析】
（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∴∠O=180°-∠B=60°，

而∠A=120°，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE=∠FOE，

而∠FOC=∠AOC，

∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×60°=30°，

即∠EOC=30°；

（3）比值不改变．

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，

∵∠FOC=∠AOC，

∴∠AOF=2∠AOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB的值为1：2；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，

∵∠OEB=∠AOE，

∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，

而∠OCA=180°-∠AOC-∠A=180°-x-120°=60°-x，

∵∠OEB=∠OCA，

∴30°+x=60°-x，

解得x=15°，

∴∠OCA=60°-x=60°-15°=45°．