Question

（问题情境）

(1)古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．

其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：(1)CD² = AD·BD,   (2)AC² = AB·AD,   (3)BC²=AB·BD；请你证明定理中的结论(2)BC²=AB·BD．

（结论运用）

（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，

①求证：△BOF∽△BED；

②若，求OF的长．

Answer

（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）通过证明Rt△CBD∽Rt△ABC得到CB：AB=BD：BC，然后利用比例性质即可得到BC²=AB·BD；

（2）根据射影定理得BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即，

加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；

（3）先计算出CE 、DE、OB的长，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到

=，即可求得OF的长．

（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BDC=∠ACB=90°，

而∠CBD=∠ABC，

∴Rt△CBD ∽Rt△ABC，∴CB：AB=BD：BC，

∴ =AB•BD；

（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO•BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF•BE，

∴BO•BD=BF•BE，

即 ，

而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=6，，

∴CE=，∴DE=BC-CE=4，

在Rt△OBC中，OB=，

∵△BOF∽△BED，

∴=，即，

∴OF=.