Question

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF.

（1）试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；

（2）连接EF，DF，分别取AE，EF，FD，DA的中点H，I，J，K，则四边形HIJK是什么特殊四边形？请在图2中补全图形，并说明理由．

Answer

（1）AF＝DE.理由见解析；（2）见解析

【解析】试题（1）根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE．
（2）根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形．

试题解析：

（1）AF＝DE.

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.

又∵AE＝BF，

∴△DAE≌△ABF（SAS）．

∴AF＝DE.

（2）如图所示：

四边形HIJK是正方形．理由：

∵H，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点，

∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED.

∵AF＝DE，

∴HI＝KJ＝HK＝IJ.

∴四边形HIJK是菱形．

∵△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF.

∵∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠BAF＋∠AED＝90°.

∴AF⊥DE.

∵HK∥DE，HI∥AF，

∴HK⊥HI.

∴∠KHI＝90°.

∴四边形HIJK是正方形．