Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．

（1）求证：CE=CF．

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形AEMF是菱形，理由见解析.

【解析】

试题（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；

（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）

∴BE=DF，

∵BC=DC，

∴CE=CF；

（2）四边形AEMF是菱形，理由为：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°，

BC=DC，

∵BE=DF，

∴BC-BE=DC-DF，

即CE=CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF（SAS），

∴OE=OF，又OM=OA，

∴四边形AEMF是平行四边形，

∵AE=AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．