Question

如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F.

(1)当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；

(2)当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD－∠AEM＝90°；

(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．

Answer

（1）∠PFD＋∠AEM＝90°；（2）见解析；（3）∠N＝45°.

【解析】

（1）如图，由平行线的性质得出∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，即可得出结果；
（2）设PN交AB于点G，由平行线的性质得出∠PFD＝∠PGB，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得出结果；
（3）由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PFD＝90°＋∠PEB＝120°，再由平行线的性质得出∠NFO＝120°，然后由三角形的内角和定理即可得出结果．

【解析】
(1)如图，过点P作PH∥AB.

∵AB∥CD，

∴PH∥CD，

∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM.

∵∠MPN＝90°，

∴∠NPH＋∠HPM＝90°，

∴∠PFD＋∠AEM＝90°.

(2)证明：设PN交AB于点G.

∵AB∥CD，

∴∠PFD＝∠PGB.

∵∠PGB－∠PEB＝90°，∠PEB＝∠AEM，

∴∠PFD－∠AEM＝90°.

(3)由(2)得，∠PFD＝90°＋∠PEB＝120°，

∴∠NFO＝120°，

∴∠N＝180°－∠DON－∠NFO＝45°.