Question

已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；

（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？

Answer

（1）△PDC为等边三角形，理由见解析；

（2）△PDC仍为等边三角形，理由见解析.

【解析】

试题（1）观察图形可得△PDC为等边三角形，先根据条件证明△APC≌△BDC得出PC=DC，然后根据条件证明∠CPD=60°即可得出结论；（2）利用（1）中方法即可得出结论．

试题解析：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）

理由如下：

∵△ABC为等边三角形

∴AC=BC

∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC

又∵AP=BD

∴△APC≌△BDC

∴PC=DC

∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°

∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°

∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°

∴△PDC为等边三角形；（6分）

（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）

理由如下：

∵△ABC为等边三角形

∴AC=BC

∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC

又∵AP=BD

∴△APC≌△BDC

∴PC=DC

∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°

∴△PDC为等边三角形．