Question

如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.

(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

Answer

(1) PA+PB=PC;(2).

【解析】

试题（1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；

（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积.

试题解析：（1）在PC上截取PD=AP，如图，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等边三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴PC=BP+AP．

（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．

理由如下，如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．

过点C作CF⊥AB，垂足为F．

∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，

∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），

当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，

∴此时四边形APBC的面积最大．

又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB=，

∴S四边形APBC=×2×=.