Question

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.

(1)求证：四边形AECD为平行四边形；

(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】【试题分析】

（1）由圆周角定理的推论得∠B＝∠E.∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，根据两直线平行，同旁内角互补得：∠D＋∠ECD＝180°，等量代换得：∠E＋∠ECD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AE∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得：四边形AECD为平行四边形．

(2)过点O作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.在平行四边形AECD中，

AD＝CE.又由于AD＝BC，等量代换得：CE＝CB，在同圆中，等弦所对的弦心距相等得：

OM＝ON.又因为OM⊥BC，ON⊥CE，根据角平分线的判定定理得：CO平分∠BCE.

【试题解析】

(1)由题意得∠B＝∠E.∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，

∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，

∴四边形AECD为平行四边形．

(2)过点O作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N.∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又∵AD＝BC，∴CE＝CB，∴OM＝ON.又∵OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.