Question

如图，△BCD内接于⊙O，直径AB经过弦CD的中点M，AE交BC的延长线于点E，连接AC，∠EAC＝∠ABD＝30°．

（1）求证：△BCD是等边三角形；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）若CE＝2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O的半径为2．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径，M是CD的中点知AB⊥CD，BD＝BC，结合∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°即可得证；

（2）先证AE∥CD，由AB⊥CD可得AE⊥AB，据此即可得证；

（3）由AB是直径可得∠ACB＝∠ACE＝90°，由∠EAC＝30°可得AE＝2CE＝4，∠ABE＝30°可得BE＝2AE＝8，根据勾股定理可得直径AB的长，从而得出答案．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，

∴AB⊥CD，

∴BD＝BC，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°，即∠CBD＝60°，

∴△BCD是等边三角形；

（2）∵∠EAC＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，

∴∠EAC＝∠ACD，

∴AE∥CD，

由（1）知AB⊥CD，

∴AE⊥AB，

∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线；

（3）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝90°，

∵∠EAC＝30°，

∴AE＝2CE＝4，

在Rt△EAB中，∠ABE＝30°，

∴BE＝2AE＝8，

∴AB＝＝＝4，

∴⊙O的半径为2．