Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）

Answer

四边形CEDF为正方形,理由见解析

【解析】

过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG＝DF，同理得到DE＝DG，等量代换得到DE＝DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．

证明：如图，

过D作DG⊥AB，交AB于点G，

∵∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，

∴四边形CEDF为矩形，

∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG；

∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，

∴DE＝DG，

∴DE＝DF，

∴四边形CEDF为正方形．