Question

如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．

Answer

见解析

【解析】

连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案．

证明：如图，连结PB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．

∵在△CBP和△CDP中，

，

∴△CBP≌△CDP（SAS）．

∴DP＝BP．

∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°

∴四边形BNPM是矩形．

∴BP＝MN．

∴DP＝MN．