Question

如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点。

（1）如果点P运动到C、D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由。

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间 的关系是否发生改变？请说明理由。

Answer

（1）P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD，理由详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作，由，可得,根据两直线平行，内错角相等，即可求得: ∠APB＝∠PAC+∠PBD；

（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，则有两种情形，由直线，根据两直线平行,内错角相等，同位角相等与三角形外角的性质，可分别求得:∠APB＝∠PAC－∠PBD和∠APB＝∠PBD-∠PAC.

【解析】
（1）若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：

如图，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，

又因为l1∥l2，所以PE∥l2，

所以∠BPE＝∠PBD，

所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，

即∠APB＝∠PAC+∠PBD.

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：

①如图1，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：

过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC

又因为l1∥l2，所以PE∥l2

所以∠BPE＝∠PBD

所以∠APB＝∠APE-∠BPE

即∠APB＝∠PAC－∠PBD.

②如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：

过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD

又因为l1∥l2，所以PE∥l1

所以∠APE＝∠PAC

所以∠APB＝∠BPE-∠APE

即∠APB＝∠PBD-∠PAC.