Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.

(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(2)在(1)的条件下，当∠A等于多少度时，四边形BECD是正方形？

Answer

(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形(2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形

【解析】试题（1）先证明AC∥DE，得到四边形ADEC是平行四边形，即有：CE=AD，再证四边形BECD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到结论；

（2）先求出∠ABC=45°，再根据菱形的性质求出∠DBE=90°，即可证出结论．

试题解析：【解析】
当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形．理由如下：

∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE．∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴BD=CE．∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形；

（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：

∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=45°．∵四边形BECD是菱形，∴∠ABC=∠DBE，∴∠DBE=90°，∴四边形BECD是正方形．